6 断点回归

  在处理效应中，如果处理变量\(D_i\)完全由某连续变量\(X_i\)是否超过某断点所决定，据此进行分组的变量\(X_i\)，称为分配变量. 考虑规则

\[D_i=\begin{cases} 1,\,\mbox{若}X_i\geq c\\ 0,\,\mbox{若}X_i<c \end{cases}\]

此时，断点附近的局部平均处理效应（Local Average Treatment Effect）为

\[\rho_{LATE}=\mathbb{E}[Y_{1i}-Y_{0i}|X=c]=\mathbb{E}[Y_{1i}|X=c]-\mathbb{E}[Y_{0i}|X=c]=\lim_{X\rightarrow c^+}\mathbb{E}[Y_{1i}|X]-\lim_{X\rightarrow c^-}\mathbb{E}[Y_{0i}|X]\]

  假设干预前，结果变量\(Y_i\)与\(X_i\)之间存在线性关系

\[Y_i=\alpha+\beta X_i+\epsilon_i\]

则实施干预的回归方程可写为

\[Y_i=\alpha+\beta(X_i-c)+\delta D_i+\gamma (X_i-c)D_i+u_i\]

上式中，\(X_i-c\)为变量\(X_i\)的标准化，使得其断点为0；并引入交互项\(\gamma (X_i-c)D_i\)，允许断点两侧回归线斜率可以不同. 此时\(\hat{\delta}\)就是局部平均处理效应的估计量，由于该回归存在断点，故称为断点回归.

6.1 精确断点回归

定义6.1.1 如果断点\(X=c\)处，个体得到处理的概率从0跳跃到1，我们称这种断点回归为精确断点回归（SRD）.

注6.1.1 精确断点回归和随机控制实验的区别是：精确断点回归中，分配变量是处理变量的唯一父变量，分配变量可能受其他变量影响；随机控制实验中，处理变量是随机变量的唯一父变量，但处理变量不受任何其他变量影响.

  精确断点回归的简单情形为

\[Y_i=\alpha+\beta(X_i-c)+\delta D_i+\gamma (X_i-c)D_i+u_i\]

包含处理效应项、断点项、处理效应和断点交互项. 然而，用该方程来估计精确断点回归，存在两个问题. 首先，如果回归函数包含高次项，会导致遗漏变量偏差；其次，断点回归是局部实验，原则上只应使用断点附近的观测值. 为了解决这一问题，我们常在方程中引入高次项，并限定\(X\)的取值范围，如

\[Y_i=\alpha+\beta_1(X_i-c)+\beta_2(X_i-c)^2+\delta D_i+\gamma_1(X_i-c)D_i+\gamma_2(X_i-c)^2D_i+u_i,X_i\in(c-h,c+h)\]

6.2 模糊断点回归

定义6.2.1 如果断点\(X=c\)处，个体得到处理的概率从\(p_0(c)\)跳跃到\(p_1(c)(0<p_0(c)<p_1(c)<1)\)，我们称这种断点回归为模糊断点回归（FRD）.

  模糊断点回归与精确断点回归的不同在于，精确断点回归中处理变量\(D_i\)完全由分配变量\(X_i\)决定；模糊断点回归中，处理变量\(D_i\)不完全由\(X_i\)决定，一般来说影响处理变量\(D_i\)的其他因素也会影响结果变量\(Y_i\)，由此产生内生性。